Longtemps les fractales ont été des objets mathématiques incompris : ni vraiment des courbes, ni vraiment des surfaces...
D'après la géométrie euclidienne la dimension d'un point est nulle, celle d'une droite vaut 1, celle d'une surface vaut 2 et celle d'un volume vaut 3.
Mais que ce passe-t-il pour cette courbe bizarre baptisée flocon de von Koch ? Eh bien la dimension n'est ni 1 ni 2, mais environ 1,26. De même, le triangle de Sierpinski a une dimension de 1,58 tandis que l'éponge de Menger c'est 2,72. Quant au chou-fleur, c'est plutôt 2,33...
¤ Découvrir la dimension fractale ¤
Un homme se promène le long d'une côte très escarpée. A la fin de son parcours, il a effectué un trajet de cinq kilomètres. Mais si, à la place de l'homme, une souris se met à suivre la côte à son tour, elle effectuera un trajet un peu plus long. Car chaque rocher que l'homme parvient à enjamber sera en fait contourné par l'animal. Et si, à la place de la souris, c'était une fourmi qui suivait la côte? La distance parcourue par la fourmi serait encore plus longue. En fait, la longueur d'une côte n'est tout simplement pas mesurable, car elle est trop escarpée. Et cet escarpement reste valable quelque soit l'échelle d'observation du contour...
La géométrie des fractales est née de cette constatation. Dans les années 60, Benoît MANDELBROT se rend compte que la géométrie euclidienne, qui transforme les éclairs en des droites, les nuages en des sphères, ou les côtes terrestres en des courbes lisses, ne transmet qu'une vision très approximative des contours naturels. MANDELBROT décide alors d'inventer une nouvelle géométrie qu'il veut beaucoup plus représentative de la réalité. Il la baptise géométrie "fractale".
Ce terme de fractale introduit par Benoît MANDELBROT au cours des années 70, dans un ouvrage célèbre, plusieurs fois édité et modifié qui s'appelle Les Objets Fractals. Mathématicien, né à Varsovie en 1924, ayant vécu en France de nombreuses années, et qui travaille actuellement pour IBM et l'université de Yale aux Etats-Unis, il est le "pilier" de la théorie des fractales qu'il a initié en s'appuyant à la fois sur une somme d'indices hétéroclites relevés dans les travaux de divers mathématiciens et par un regard curieux et sans cesse investigateur du monde qui nous entoure.
La fractale de MANDELBROT est la visualisation d'un objet mathématique (voir image). Il s'agit en réalité d'une matrice de nombres, où la valeur de chaque nombre est représentée par une couleur. Chaque point de l'image est un nombre calculé par l'ordinateur selon une équation très simple (les nombres Z appartiennent à l'ensemble des nombres complexes et C est une constante arbitraire...) :
Zn+1 = Zn2 + C
Le plus étonnant est que, comme la nature, cette équation produit des formes complexes d'une grande beauté...
¤ Applications des Fractales ¤
Autour de MANDELBROT, on trouve nombre de scientifiques qui se sont emparés de cette découverte révolutionnaire et qui l'ont amplifiée, l'emportant dans tous les recoins de la science, dont l'astronomie... Aujourd'hui, il ne se passe pas de semaine sans qu'il paraisse des articles scientifiques impliquant la très jeune théorie des fractales. La médecine est aussi concernée par cette nouvelle conception du monde qui bouleverse tous les domaines auxquels on l'applique.